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(本小题满分12分)已知椭圆:,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A,B两点.
(I)求证O到直线AB的距离为定值.
(Ⅱ)求△0AB面积的最大值.
解:(Ⅰ) 设,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.
,得
△ >0,…2分有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)
=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 ………4分
代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d=.……5分
当AB的斜率不存在时,,可得,依然成立.
所以点O到直线的距离为定值.………………6分
(Ⅱ)…………8分
 =≤4
当且仅当,即时等号成立.………………10分
当斜率不存在时,经检验|AB|<2.所以.…12分
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