Question

4．设f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a为实数）．
（1）x∈R，试讨论f（x）的单调性；
（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=l对称，求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由复合函数的单调性判断f（x）是R上是增函数；
（2）根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求出g（x）的解析式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1（a为常数），
①当a＜0时，y=2^x在R上是增函数，
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}}$在R上是减函数，
∴y=$\frac{a}{{2}^{x}}$在R上是增函数，
∴f（x）在R上是增函数；
②a=0时，f（x）=2^x-1在R上是增函数；
③a＞0时，f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{a}{{2}^{x}}}$-1=2$\sqrt{a}$-1，
当且仅当x=$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$时，“=”成立，
x→+∞时，f（x）→+∞，x→-∞时，f（x）→+∞，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$）递减，在（$\frac{1}{2}$${log}_{2}^{a}$，+∞）递增；
（2）当a=0时，f（x）=2^x-1，
∵y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴g（x）=2^2-x-1；

点评 本题考查了函数的单调性与对称性的应用问题，考查了分类讨论思想，是中档题．