题目内容
【题目】已知函数,
,其中
是自然常数.
(1)判断函数在
内零点的个数,并说明理由;
(2) ,
,使得不等式
成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)对函数求导, ,得到函数
在
上单调递增,根据零点存在定理得到函数存在一个零点;(2)不等式
等价于
,即
,对两边的函数分别求导研究单调性,求得最值得到
取得最大值
,
取得最小值
,故只需要
,解出即可.
解析:
(1)函数在
上的零点的个数为1,理由如下:
因为,所以
,
因为,所以
,所以函数
在
上单调递增.
因为,
,根据函数零点存在性定理得函数
在
上存在1个零点.
(2)因为不等式等价于
,
所以,
,使得不等式
成立,等价于
,即
,
当时,
,故
在区间
上单调递增,
所以当时,
取得最小值
,又
,
当时,
,
,
,所以
,故函数
在区间
上单调递减.
因此,当时,
取得最大值
,所以
,所以
,
所以实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目