Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．

（1）求证：AB⊥PC；
（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点O，连结PO，CO，AC，

∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB，

又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，

又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，

又PC平面PCO，∴AB⊥PC

（2）解：∵四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ，

∴OP= =1，OC= = ，∴PC2=OP2+OC2，∴OP⊥OC，

以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0，1，0），C（ ，0，0），P（0，0，1），D（ ），

=（ ）， =（0，﹣1，1）， =（ ，﹣1），

设 =（x，y，z）是平面BPC的一个法向量，

则 ，取x=1，得 =（1， ），

设平面DPC的一个法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1，0， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．