Question

7．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点A是以F₁为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF₂与圆相切，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可得A在双曲线的左支上，AF₁⊥AF₂，且AF₁=b，AF₂=2a+b，F₁F₂=2c，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由题意可得A在双曲线的左支上，AF₁⊥AF₂，
且AF₁=b，AF₂=2a+b，F₁F₂=2c，
由勾股定理可得，b²+（2a+b）²=4c²，
由c²=a²+b²，化简可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，考查离心率的求法，属于中档题．