题目内容
19．设函数f（x）=ax2-lnx（a∈R）．（1）如果函数f（x）的图象不在x轴的下方，求实数a的取值范围．
（2）若方程f（x）-k=0在区间[$\frac{1}{e}$，e]内有两个不相等的实根．求实数a的范围．
分析 （1）求出函数f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），通过①当a≤0时，②当a＞0时，利用函数的单调性，分别求解函数的最小值，由题意可得f（x）≥0恒成立，解不等式即可得到a的范围；
（2）由（1）推出$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，即可求出a的范围．
解答 解：（1）因为函数f（x）=ax2-lnx，
所以f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
所以①当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
故递减区间为（0，+∞），无最值；
②当a＞0时，递增区间为[$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞），递减区间为（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），
所以有最小值为f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]．
由函数f（x）的图象不在x轴的下方，即为f（x）≥0恒成立，
即有$\frac{1}{2}$[1+ln（2a）]≥0，
解得a≥$\frac{1}{2e}$；
（2）由（1）可知，$\frac{1}{e}$＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＜e，
所以$\frac{1}{2{e}^{2}}$＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$．
故a的取值范围是（$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．
点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数与方程的转化思想，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
7．设F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点A是以F1为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF2与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2$\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
4．函数y=loga（3x-2）+2的图象必过定点（ ）
| A． | （1，2） | B． | （2，2） | C． | （2，3） | D． | （$\frac{2}{3}$，2） |
8．已知定义在R上的函数f（x）满足①f（2-x）=f（x）；②f（x+2）=f（x-2）；③x1，x2∈[1，3]时，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则f（2014），f（2015），f（2016）大小关系为（ ）
| A． | f（2014）＞f（2015）＞f（2016） | B． | f（2016）＞f（2014）＞f（2015） | ||
| C． | f（2016）=f（2014）＞f（2015） | D． | f（2014）＞f（2015）=f（2016） |