Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB=$\sqrt{6}$，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；
（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$，利用向量的数量积求解二面角A-PD-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，…（3分）
又PB?平面PBE，∴PB⊥AD；…（5分）
（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，则PB²=PE²+BE²，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则E（0，0，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{PD}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
由题意可设平面APD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）；…（7分）
设平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由 得：$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则x=$\sqrt{3}$，z=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1）；
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，…（11分）
由题意知二面角A-PD-C的平面角为钝角，
所以，二面角A-PD-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直，二面角的平面角的求法，考查逻辑推理以及计算能力．