Question

18．已知函数f（x）=x${\;}^{-2{m}^{2}+m+3}$ （m∈Z）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）g（x）=log₂[3-2x-f（x）]，求g（x）的定义域和值域．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，+∞）单调递增，由幂函数的性质得-2m²+m+3＞0，解得$-1＜m＜\frac{3}{2}$，可得m=0或m=1．分别讨论即可得出．
（2）由（1）知$g（x）={log_2}（{-{x^2}-2x+3}）$，由-x²-2x+3＞0得-3＜x＜1，可得g（x）的定义域为（-3，1）．设t=-x²-2x+3，x∈（-3，1），则t∈（0，4]，再利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
由幂函数的性质得-2m²+m+3＞0，
解得$-1＜m＜\frac{3}{2}$，
∵m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，f（x）=x³不是偶函数，舍去；
当m=1时，f（x）=x²是偶函数，
∴m=1，f（x）=x²；
（2）由（1）知$g（x）={log_2}（{-{x^2}-2x+3}）$，由-x²-2x+3＞0得-3＜x＜1，
∴g（x）的定义域为（-3，1）．
设t=-x²-2x+3，x∈（-3，1），则t∈（0，4]，
此时g（x）的值域，就是函数y=log₂t，t∈（0，4]的值域．
y=log₂t在区间（0，4]上是增函数，∴y∈（-∞，2]；
∴函数g（x）的值域为（-∞，2]．

点评 本题考查了幂函数的性质、对数函数与二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．