Question

【题目】已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．

（1）求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}；（2）m＜﹣3或m＞5．

【解析】

（1）把作为一个数和，利用绝对值的几何意义解不等式；

（2）问题可化为，同样利用绝对值的几何意义求出函数最小值，再解绝对值不等式可得．

（1）不等式f(x)≤6，即|2x+3|+|2x﹣1|≤6．

不等式的几何意义，是数轴是的点2x，到﹣3与1的距离之和不大于6，

∴﹣4≤2x≤2，解得﹣2≤x≤1，

不等式的解集为{x|﹣2≤x≤1}；

（2）函数f(x)＝|2x+3|+|2x﹣1|．

由绝对值的几何意义可知：f(x)min=4，

关于x的不等式f(x)|m﹣1|的解集非空，

只须：4|m﹣1|，解得m﹣3或m5．