题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
为
的中点.
(1)证明:;
(2)若点在线段
上,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析过程;(2).
【解析】
(1)利用勾股定理逆定理可以证明底面直角三角形的性质,结合侧棱相等,可以确定是底面
的垂线,进而利用线面垂直的性质进行证明即可;
(2)由(1)中的线面垂直关系,可以证明出平面和平面
互相垂直,根据面面垂直的性质定理,结合线面角的定义,可以求出
的长,最后利用异面直线的定义进行求解即可.
(1)因为,所以有
,所以三角形
是直角三角形,而
为斜边
的中点.所以三角形
的外心为点
,因为
,所以点
在底面
的射影是底面
的外心,因此
平面
,而
平面
,因此有
;
(2)由(1)可知:平面
,而
平面
,所以平面
平面
,过
作
,垂足为
,因为平面
平面
,所以
平面
,因为直线
与平面
所成角的正弦值为
,所以
,设
,
所以,因此由
,因此有
,根据
,可得
或
(舍去),故
,因此点
是线段
的中点,取
的中点
,连接
,则有
,所以
是直线
与
所成角(或补角),
因为,
,所以
,由余弦定理可知:
.
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