题目内容
【题目】如图☆的曲线，其生成方法是（I）将正三角形（图（1））的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图（2）；(II)将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；(III)再按上述方法继续做下去，所得到的曲线称为雪花曲线(Koch Snowflake)，
（1）
（2）
（3）
.
设图（1）的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、（2）、（3）…中的图形依次记作M1、M2、M3、…
…
（1）设中的边数为
中每条边的长度为
，写出数列
和
的递推公式与通项公式；
（2）设的周长为
，所围成的面积为
，求数列{}与{}的通项公式；请问周长与面积的极限是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，简单说明理由.
【答案】（1）
且
，
；
，
； （2）
；
；周长
的极限不存在，面积
的极限为
.
【解析】
（1）根据题意，结合图形的变换，分别得出数列
和
的递推关系式，结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）根据图象的变换规律，得出数列
和
的递推关系式，结合叠加法和数列的极限，即可求解.
（1）由题意，可得数列的递推关系式为且，
所以数列构成首项为，公比为4的等比数列，
所以其通项公式为
，
又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的
，
所以边长
满足递推关系式，
即数列构成首项为1，公比为的等比数列，
所以数列的图通项公式为
（2）观察发现，第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的，第三个图形在第二个的周长的基础上，多了周长的，第四个图形在第三个的周长的基础上，多了周长的，依次类推，
可得周长满足递推关系式
且
，
所以数列构成首项为3，公比为
的等比数列，
所以数列的通项公式为，
由第一个三角形的面积
，
当
时，
，
则
.
又由极限的运算法则，可得
，所以周长的极限不存在；
，即面积的极限为.
