题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知点
,直线
:
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,动点
满足:
,
.
(1)求动点的轨迹方程
;
(2)若直线与曲线
交于
,
两点,过点
作直线
的垂线与曲线
相交于
,
两点,求
的最大值.
【答案】(1);(2)最大值为-16.
【解析】
(1)由题意可得点到点
的距离和到直线
的距离相等,即
,化简即可得解;
(2)先设直线的斜率为
,再求得
关于
的函数关系式,再利用重要不等式求解即可.
(1)由题意可知是线段
的中点,因为
,所以
为
的中垂线,
即,又因为
,即
点到点
的距离和到直线
的距离相等,
设,则
,化简得
,
所以动点的轨迹方程
为:
.
(2)由题可知直线的斜率存在且不为0,设直线
:
,
:
,
则,联立可得
,
设,
,则
,
.因为向量
,
方向相反,所以
,
同理,设,
,可得
,
所以,因为
,当且仅当
,即
时取等号,所以
的最大值为-16.
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