Question

【题目】如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点.

(I)证明：AE⊥PD；

(II)设AB＝PA＝2，

①求异面直线PB与AD所成角的正弦值；

②求二面角E－AF－C的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）①②

【解析】

（Ⅰ）通过得到，再证明，平面PAD，然后证明；（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，①求出，，得到异面直线PB与AD所成角的正弦函数值；②求出平面AEF的一法向量，平面AFC的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，

可得为正三角形.

因为为的中点，所以.

又，因此.

因为平面，平面，

所以.

而平面，平面且，

所以平面，又平面.

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，，，，，，

①,.

∴,

设异面直线与所成角为，∴

②

设平面的一法向量为

则，因此

取

因为，，，

所以 ，

故为平面的一法向量.

又=，

所以 =.

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为