题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求函数的极值;
(2)对,不等式
都成立,求整数k的最大值;
【答案】(1)极小值为无极大值;(2)3.
【解析】
求出函数的单调区间,然后求解函数的极值,
问题转化为
在
上恒成立,令
,
,再求导, 分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可求出k的值.
解:,
,
,
当时,
,函数单调递减,当
时,
,函数单调递增,
当
时,取得极小值,极小值为
无极大值.
,
,不等式
都成立,
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,
,
,
当时,即
时,
在
上恒成立,
在
上单调递增,
,
,此时整数k的最大值为2,
当时,令
,解得
,
当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增,
,
由,
令,
在
上恒成立,
在
上单调递减,
又,
,
存在
使得
,
故此时整数k的最大值为3,
综上所述整数k的最大值3.
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