题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC,E是线段AB的中点.
(1)求证:PE⊥CD;
(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先证明,再证明
,又
,推出PE⊥平面ABCD,然后证明PE⊥CD;
(2)以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,推出
(2,1,0),
(0,0,
),
(1,﹣1,
),设
(x,y,z)为平面PDE的一个法向量,由
可以求得
(1,﹣2,0),设PC与平面PDE所成的角为θ,利用
,最后得出PC与平面PDE所成角的正弦值为
.
(1)∵AD⊥侧面PAB,PE平面PAB,∴AD⊥EP.
又∵△PAB是等边三角形,E是线段AB的中点,∴AB⊥EP.
∵AD∩AB=A,∴PE⊥平面ABCD.
∵CD平面ABCD,∴PE⊥CD.
(2)以E为原点,EA、EP分别为y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则E(0,0,0),C(1,﹣1,0),D(2,1,0),P(0,0,).
(2,1,0),
(
),
(1,﹣1,
).
设(x,y,z)为平面PDE的一个法向量.
由 ,令x=1,可得
(1,﹣2,0)
设PC与平面PDE所成的角为θ,得
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.
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