题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线
的焦点为
,
为抛物线上异于原点的任意一点,以
为直径作圆
,当直线
的斜率为1时,
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过焦点作
的垂线
与圆
的一个交点为
,
交抛物线于
,
(点
在点
,
之间),记
的面积为
,求
的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求得直线的方程
,联立抛物线方程,解得
的坐标,由两点的距离公式可得
,进而得到所求抛物线方程;
(2)求得,设
,
,
,
,
,
,
,
,且
,由向量垂直的坐标表示可得
,由三角形的勾股定理和三角形的面积公式可得
,设
,联立抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式可得
,再由两直线垂直的条件,以及构造函数法,求得导数和单调性,计算可得所求最小值.
(1)当直线的斜率为1时,
可得直线的方程为
,联立抛物线方程
,
解得,即
,
,即
,
抛物线的方程为;
(2)由(1)可得,
设,
,
,
,且
,
由题意可得,即
,
又,即
,
整理可得,
又,
则,即
,
又的斜率存在且不为0,
,联立抛物线方程可得
,
可得,
,则
,
由,可得
,即
,可得
,
则,
可令,
,
显然在
递增,且
,
当时,
,
时,
,
可得在
递减,在
递增,
可得时,
取得最小值23.
即求的最小值为23.
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