题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若在函数的定义域内存在区间,使得该函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求实数的值或取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)对函数求导,由函数在区间上为减函数,等价于在上有解,对进行分类讨论,从而可得实数的取值范围;(Ⅱ)根据导数的几何意义求得切线的方程,由切线与曲线有且只有一个公共点,等价于方程在上有且只有一解,从而设,则在上有且只有一个零点,求出函数有零点,然后讨论当时,时,利用导数研究函数的单调性,利用函数的零点,即可求出实数的值或取值范围.
详解:(Ⅰ)因为.
依题意知在上有解.
当时显然成立;
当时,由于函数的图象的对称轴,
故需且只需,即,解得,故.
综上所述,实数的取值范围为.
(Ⅱ)因为,,故切线的方程为,即.
从而方程在上有且只有一解.
设,则在上有且只有一个零点.
又,故函数有零点.
∵.
当时,,又不是常数函数,故在上单调递增.
所以函数有且只有一个零点,满足题意.
当时,由,得或,且.
由,得或;
由,得.
所以当在上变化时,,的变化情况如下表:
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
根据上表知.
而函数.
所以,故在上,函数又存在一个零点,不满足题意.
综上所述,.
【题目】某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干水果,然后以元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩下的水果以元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了水果最近天的日需求量(单位:千克),整理得下表:
日需求量 | |||||||
频数 |
以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)求该超市水果日需求量(单位:千克)的分布列;
(2)若该超市一天购进水果千克,记超市当天水果获得的利润为(单位:元),求的分布列及其数学期望.