题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若在函数的定义域内存在区间
,使得该函数在区间
上为减函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当时,若曲线
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点,求实数
的值或取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】分析:(Ⅰ)对函数求导,由函数
在区间
上为减函数,等价于
在
上有解,对
进行分类讨论,从而可得实数
的取值范围;(Ⅱ)根据导数的几何意义求得切线
的方程,由切线
与曲线
有且只有一个公共点,等价于方程
在
上有且只有一解,从而设
,则
在
上有且只有一个零点,求出函数
有零点
,然后讨论当
时,
时,利用导数研究函数
的单调性,利用函数的零点,即可求出实数
的值或取值范围.
详解:(Ⅰ)因为.
依题意知在
上有解.
当时显然成立;
当时,由于函数
的图象的对称轴
,
故需且只需,即
,解得
,故
.
综上所述,实数的取值范围为
.
(Ⅱ)因为,
,故切线
的方程为
,即
.
从而方程在
上有且只有一解.
设,则
在
上有且只有一个零点.
又,故函数
有零点
.
∵.
当时,
,又
不是常数函数,故
在
上单调递增.
所以函数有且只有一个零点
,满足题意.
当时,由
,得
或
,且
.
由,得
或
;
由,得
.
所以当在
上变化时,
,
的变化情况如下表:
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
根据上表知.
而函数.
所以,故在
上,函数
又存在一个零点,不满足题意.
综上所述,.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某大型水果超市每天以元/千克的价格从水果基地购进若干
水果,然后以
元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩下的水果以
元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了
水果最近
天的日需求量(单位:千克),整理得下表:
日需求量 | |||||||
频数 |
以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)求该超市水果日需求量
(单位:千克)的分布列;
(2)若该超市一天购进水果
千克,记超市当天
水果获得的利润为
(单位:元),求
的分布列及其数学期望.