题目内容

【题目】已知函数

(Ⅰ)若在函数的定义域内存在区间,使得该函数在区间上为减函数,求实数的取值范围

(Ⅱ)当时,若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求实数的值或取值范围.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).

【解析】分析:(Ⅰ)对函数求导由函数在区间上为减函数等价于上有解进行分类讨论从而可得实数的取值范围;(Ⅱ)根据导数的几何意义求得切线的方程由切线与曲线有且只有一个公共点等价于方程上有且只有一解从而设,则上有且只有一个零点,求出函数有零点,然后讨论当利用导数研究函数的单调性利用函数的零点,即可求出实数的值或取值范围

详解:(Ⅰ)因为.

依题意知上有解.

时显然成立;

时,由于函数的图象的对称轴

故需且只需,即,解得,故

综上所述,实数的取值范围为

(Ⅱ)因为,故切线的方程为,即

从而方程上有且只有一解.

,则上有且只有一个零点.

,故函数有零点

时,,又不是常数函数,故上单调递增.

所以函数有且只有一个零点,满足题意.

时,由,得,且

,得

,得

所以当上变化时,的变化情况如下表:

极大值

极小值

根据上表知

而函数

所以,故在上,函数又存在一个零点,不满足题意.

综上所述,

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