题目内容
【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=4,BC= ,点E,F分别为AD,BC的中点.如果对于常数λ,在ABCD的四条边上,有且只有8个不同的点P使得
=λ成立,那么实数λ的取值范围为 .
【答案】(﹣ ,﹣
)
【解析】解:以DC所在直线为x轴,DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
则梯形的高为 =2,∴A(﹣1,2),B(1,2),C(2,0),D(﹣2,0),∴E(﹣
,1),F(
,1).
①当P在DC上时,设P(x,0)(﹣2≤x≤2),则 =(﹣
﹣x,1)
=(
,1).
于是 =(﹣
﹣x)(
﹣x)+1=x2﹣
=λ,
∴当λ=﹣ 时,方程有一解,当﹣
<λ≤
时,λ有两解;
②当P在AB上时,设P(x,2)(﹣1≤x≤1),则 =(﹣
﹣x,﹣1)
=(
,﹣1).
于是 =(﹣
﹣x)(
﹣x)+1=x2﹣
=λ,
∴当λ=﹣ 时,方程有一解,当﹣
<λ≤﹣
时,λ有两解;
③当P在AD上时,直线AD方程为y=2x+4,
设P(x,2x+4)(﹣2<x<﹣1),则 =(﹣
﹣x,﹣2x﹣3)
=(
,﹣2x﹣3).
于是 =(﹣
﹣x)(
﹣x)+(﹣2x﹣3)2=5x2+12x+
=λ.
∴当λ=﹣ 或﹣
<λ<
时,方程有一解,当﹣
﹣
时,方程有两解;
④当P在BC上时,直线BC的方程为y=﹣2x+4,
设P(x,﹣2x+4)(1<x<2),则 =(﹣
﹣x,2x﹣3)
=(
,2x﹣3).
于是 =(﹣
﹣x)(
﹣x)+(2x﹣3)2=5x2﹣12x+
=λ.
∴当λ=﹣ 或﹣
<λ<
时,方程有一解,当﹣
﹣
时,方程有两解;
综上,若使梯形上有8个不同的点P满足 =λ成立,
则λ的取值范围是(﹣ ,
]∩(﹣
,﹣
]∩(﹣
,﹣
)∩(﹣
,﹣
)=(﹣
,﹣
).
所以答案是:(﹣ ,﹣
).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备
生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进
行评判(表示相应事件的概率);①
;②
;③
.
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级.
(2)将直径小于等于或直径大于
的零件认为是次品.
(ⅰ)从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数
的数学期望
;
(ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数学期望
.