Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC= ，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P使得 =λ成立，那么实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ，﹣ ）
【解析】解：以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为 =2，∴A（﹣1，2），B（1，2），C（2，0），D（﹣2，0），∴E（﹣ ，1），F（ ，1）．
①当P在DC上时，设P（x，0）（﹣2≤x≤2），则 =（﹣ ﹣x，1） =（ ，1）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+1=x2﹣ =λ，
∴当λ=﹣ 时，方程有一解，当﹣ ＜λ≤ 时，λ有两解；
②当P在AB上时，设P（x，2）（﹣1≤x≤1），则 =（﹣ ﹣x，﹣1） =（ ，﹣1）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+1=x2﹣ =λ，
∴当λ=﹣ 时，方程有一解，当﹣ ＜λ≤﹣ 时，λ有两解；
③当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，
设P（x，2x+4）（﹣2＜x＜﹣1），则 =（﹣ ﹣x，﹣2x﹣3） =（ ，﹣2x﹣3）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+（﹣2x﹣3）2=5x2+12x+ =λ．
∴当λ=﹣ 或﹣ ＜λ＜ 时，方程有一解，当﹣ ﹣ 时，方程有两解；
④当P在BC上时，直线BC的方程为y=﹣2x+4，
设P（x，﹣2x+4）（1＜x＜2），则 =（﹣ ﹣x，2x﹣3） =（ ，2x﹣3）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+（2x﹣3）2=5x2﹣12x+ =λ．
∴当λ=﹣ 或﹣ ＜λ＜ 时，方程有一解，当﹣ ﹣ 时，方程有两解；
综上，若使梯形上有8个不同的点P满足 =λ成立，
则λ的取值范围是（﹣ ， ]∩（﹣ ，﹣ ]∩（﹣ ，﹣ ）∩（﹣ ，﹣ ）=（﹣ ，﹣ ）．
所以答案是：（﹣ ，﹣ ）．