题目内容
【题目】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销量
（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6年宣传费
和年销量
的数据做了初步统计，得到如下数据：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费x（万元） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量y（吨） | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
即
，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为
（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入
万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由.（其中
为自然对数的底数，
）
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）不合理
【解析】
(Ⅰ)利用组合知识，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）对
两边取对数得
，令
得
，根据所给的数据，求出变量
的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数
,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出
的值，写出线性回归方程；（Ⅲ）设该公司的年利润为
，由利润=销售收入-总成本，求得的解析式，由二次函数的性质求得
时，取最大值，从而可得结果.
(Ⅰ)记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的年销量低于20吨，故
（Ⅱ）对
两边取对数得，令得，由题中数据得：
，
，
，
，
所以
，由
,
得
,故所求回归方程为
.
（Ⅲ）设该公司的年利润为
，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
,
当
即时，利润取得最大值500（万元），故2019年该公司计划投入
万元宣传费的决策不合理.
