Question

【题目】下列说法正确的是（ ）

①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；

②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

④已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用线性回归方程系数的几何意义，圆锥曲线离心率的范围，椭圆的性质，逐一判断即可.

①设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；

②关于x的方程x2﹣mx+1＝0（m＞2）的两根之和大于2，两根之积等于1，故两根中，一根大于1，一根大于0小于1，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率．正确；

③设定圆C的方程为（x﹣a）2+（x﹣b）2＝r2，其上定点A（x0，y0），设B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），

由（）得，消掉参数θ，得：（2x﹣x0﹣a）2+（2y﹣y0﹣b）2＝r2，即动点P的轨迹为圆， ∴故③不正确；

④由，得a2＝4，b2＝3，∴．则F（﹣1，0），

如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则xA＝﹣1，

代入椭圆方程可得．

当P为椭圆上顶点时，P（0，），此时，又，

∴当直线FP的斜率大于时，直线OP的斜率的取值范围是．

当P为椭圆下顶点时，P（0，），

∴当直线FP的斜率大于时，直线OP的斜率的取值范围是（，），

综上，直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是∪（，）．

故选：C