[题目]设为一个56元集合.求最小的正整数.使得对集合的任意15个子集.只要它们中间任何七个的并的元素个数均不少于.则这15个子集中一定存在三个集合.使得它们的交集非空. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】设为一个56元集合.求最小的正整数，使得对集合的任意15个子集，只要它们中间任何七个的并的元素个数均不少于，则这15个子集中一定存在三个集合，使得它们的交集非空.

【答案】41

【解析】

构造15个子集

，

则，，

，.

于是，这15个子集中任何三个中必有两个是组，或者必有两个是组，三者交集均为空集.

现分析其中任何七个子集的元素个数.

任取其中七个子集，，…，及，，…，，其中，.则

故满足题设的正整数.

下面用反证法证明：满足题设.

假设存在集合的某15个子集，，…，.尽管其中任何七个子集的并集不少于41个元素，但其中任何三个子集的交集均为空集，从而，每个元素至多属于两个子集.

分两种情形讨论.

（1）集合的每个元素均恰属于，，…，中两个子集.

由抽屉原理，知必有一个子集（不妨设为）中至少含有（表示不超过实数的最大整数）个元素.由，，…，组成的所有七元子集组，至少共对应个元素.

另一方面，对任一元素，若，则，，…，中只有两个子集含有，于是，被计算的次数为；若，则，，…，中只有一个子集含有，于是，被计算的次数为.

故

，即，矛盾.

（2）集合可能存在一些元素至多属于子集，，…，中一个子集.

在不含这些元素的子集中各找一个添入这些元素，直至集合的每个元素均恰含于子集，，…，中两个子集.于是，改造过的子集，，…，中的任意三个的交仍然为空集.此时，该情形已化为（1），从而，也是矛盾的.

总之，对于集合的任意15个子集，只要它们中任何七个的并的元素个数均不少于41，则这15个子集中就一定存在三个交集非空的集合.

综上，满足题设的最小正整数.

练习册系列答案

(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？

注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为.

【题目】如图，四棱锥PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【题目】已知抛物线与二次曲线有4个不同的交点，由下面的草图可以看出，下面三个结论是成立的，请给出证明.

（1）.两曲线的4个交点中，至少有两个交点位于轴的下方；

（2）.抛物线必与轴有两个不同的交点，记为，，；

（3）.两曲线的4个交点中，必存在一点，使.

注.对、、的不同取值会有无数个图形，此处仅就，各给出一个示意图，同时也就限制“由图看出”的解答.

【题目】已知斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为，椭圆的上顶点为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设直线与椭圆交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点.

【题目】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC=BC=1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中点．

（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；

（2）当点F 在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．

【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

售出水量x（单位：箱）	7	6	6	5	6
收益y（单位：元）	165	142	148	125	150

(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？

(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.