题目内容
【题目】已知抛物线
与二次曲线
有4个不同的交点，由下面的草图可以看出，下面三个结论是成立的，请给出证明.
（1）.两曲线的4个交点中，至少有两个交点位于
轴的下方；
（2）.抛物线
必与轴有两个不同的交点，记为
，
，
；
（3）.两曲线的4个交点中，必存在一点
，使
.
注.对
、
、
的不同取值会有无数个图形，此处仅就
，
各给出一个示意图，同时也就限制“由图看出”的解答.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】
（1）.联立方程组
.
消去
，得
解得
，
.
则两曲线的4个交点中，至少有两个交点的纵坐标为负数（
是小于0的，并且
也有可能小于0），这两点位于轴的下方.
（2）由上证知，四个交点中有纵坐标为的，取其中一个为
，代入抛物线方程得
. ①
两边乘以
后，配方得
.
则
.
这表明，二次方程
②
的判别式大于0，从而有两个不相等的实根，记为
，
，得抛物线与轴交于两点
，
.
（3）由、是方程②的两个根知
. ③
又由①有
.
把③代入，得
，即
.
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