Question

【题目】某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25 米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，

∴OE=

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，

∴OF= ．

又∠EOF=90°，

∴EF= = ，

∴l=OE+OF+EF= ．

当点F在点D时，这时角α最小，此时α= ；

当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α= ．

故此函数的定义域为[ ， ]；

（2）解：由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．

由（1）得，l= ，α∈[ ， ]，

设sinα+cosα=t，则sinαcosα= ，

∴l= =

由t=sinα+cosα= sin（α+ ），

又 ≤α+ ≤ ，得 ，

∴ ，

从而当α= ，即BE=25时，lmin=50（ +1），

所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（ +1）元

【解析】（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得l= ，α∈[ ， ]，利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα= ，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．