题目内容
【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) (
)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1＝1，
(
，)，求{bn}的前n项和Tn；
（3）若数列{cn}满足
，
(
，)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），使c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）由anan+1＝2(Sn＋1)，可得an+1an+2＝2(Sn+1＋1)，两式相减可得an+2an＝2，讨论奇偶可得；（2），
，利用裂项相消法可得结果；（3）假设存在正整数数对(p，q)，使c1，cp，cq成等比数列，
可得
合题意，再证明p
3时不合题意即可.
试题解析：（1）由题意anan+1＝2(Sn＋1)， ①
an+1an+2＝2(Sn+1＋1)， ②
由①②得到：an+1(an+2an)＝2an+1， ③
因为an+1>0，则an+2an＝2， ④
又a1＝2，由④可知
；a2＝3，由④可知
；
因此，．
（2）当n=1时
当
时，
＝
＝
＝
＝
；
则
＝
．
（3）假设存在正整数数对(p，q)，使c1，cp，cq成等比数列，即c1cq＝cp2，
则lgc1＋lgcq＝2 lgc p成等差数列，于是，(＊)．
当时，
，此时，
；
可知(p，q)=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解．
又当p3时，
<0，故数列{
}(p≥3)为递减数列．
于是
=
≤
<0，所以此时方程(＊)无正整数解．
综上，存在惟一正整数数对(p，q)=(2，3)，使c1，cp，cq成等比数列．
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①
；②
；③
；
④
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
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