题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,过原点的直线(不与轴垂直)与椭圆交于、两点,直线、与轴分别交于点、.问:轴上是否存在定点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在,点的坐标为.
【解析】
(Ⅰ)利用椭圆的离心率结合,求出,得到椭圆方程;
(Ⅱ)设,由题意及椭圆的对称性可知,求出、的方程,求出、的坐标,假设存在定点使得,得到,求出,即可说明存在点坐标为满足条件.
(Ⅰ)由题意得,解得,所以,椭圆的方程为;
(Ⅱ)设,由题意及椭圆的对称性可知,
则直线的方程为,直线的方程为,
则点坐标为,点坐标为.
假设存在定点使得,
即(也可以转化为斜率来求),
即,即,即,所以,
所以存在点坐标为满足条件.
练习册系列答案
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.