Question

2．若（$\frac{k}{x}$+$\root{3}{x}$）¹²的展开式中的常数项是-220．求：
（1）实数k的值；
（2）展开式中含有x^-8的项．

Answer 1

分析 （1）直接由二项式展开式中的常数项为-220列式求得k值；
（2）把（1）中求得的k代入二项式，再由通项中x的指数为-8求得r，则展开式中含有x^-8的项可求．

解答 解：（1）由${T}_{r+1}={C}_{12}^{r}（\frac{k}{x}）^{12-r}•（\root{3}{x}）^{r}$=${k}^{12-r}•{C}_{12}^{r}•{x}^{\frac{4}{3}r-12}$．
令$\frac{4}{3}r-12=0$，解得r=9．
∴（$\frac{k}{x}$+$\root{3}{x}$）¹²的展开式中的常数项是${k}^{3}•{C}_{12}^{3}=-220$，即k=-1；
（2）（$\frac{k}{x}$+$\root{3}{x}$）¹² =$（-\frac{1}{x}+\root{3}{x}）^{12}$．
由${T}_{r+1}={C}_{12}^{r}（-\frac{1}{x}）^{12-r}（\root{3}{x}）^{r}$=$（-1）^{12-r}•{C}_{12}^{r}•{x}^{\frac{4}{3}r-12}$，
令$\frac{4}{3}r-12=-8$，得r=3．
∴展开式中含有x^-8的项为$-{C}_{12}^{3}{x}^{-8}=-220{x}^{-8}$．

点评 本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项并熟练应用，是中档题．