题目内容
【题目】各项均为正数的数列的前
项和为
,
,且
.
(1)求证:数列不是等差数列;
(2)是否存在整数,使得
对任意的
都成立?证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2)存在,证明见解析.
【解析】
(1)由,
得
,根据等差数列的性质即可证明;
(2)证明数列的奇数项和偶数项都是等差数列,分
为偶数和
为奇数两种情况进行讨论,结合等差数列的求和公式得出
,再解不等式
,求出
的范围,即可得出结论.
(1)由,
得
如果数列是等差数列,则
,即
,解得
与已知矛盾,则数列
不是等差数列;
(2)当时,
,
当时,由
得,
两式相减化简得:
,
数列
的奇数项是以
为首项,公差为
的等差数列
数列的偶数项是以
为首项,公差为
的等差数列
当为偶数时
对任意的
都成立,即
对任意的
都成立
,结合
,解得
,
则可取,使得
对任意
为偶数时成立
当为奇数时
,即
,结合
,解得
则可取,使得
对任意
为奇数时成立
综上,即存在整数为
,使得
对任意的
都成立.
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