Question

11．利用导数的定义求函数f（x）=x³在x=x₀处的导数，并求曲线f（x）=x³在x=x₀处切线与曲线f（x）=x³的交点．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的定义可得导数，再由导数的几何意义求出对应切线的斜率和方程，解方程组即可得到交点．

解答 解：设函数f（x）在（x₀，x₀+△x）上的平均变化率为$\frac{△y}{△x}$=$\frac{（{x}_{0}+△x）^{3}-{{x}_{0}}^{3}}{△x}$=3x₀²+3x₀•△x+（△x）²，
∴f′（x₀）=$\underset{lim}{△x→0}$（3x₀²+3x₀•△x+（△x）²）=3x₀²．
曲线f（x）=x³在x=x₀处切线斜率为k=3x₀²．
则曲线f（x）=x³在x=x₀处切线方程为y-x₀³=3x₀²（x-x₀），
联立y=x³，解方程可得x=x₀，x=-2x₀．
即有交点为（x₀，x₀³），（-2x₀，-8x₀³）．

点评 本题主要考查导数的定义，以及导数的几何意义，利用导数和瞬时变化率之间的关系求导数是解决本题的关键．