Question

1．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b-c=$\frac{1}{4}$a，2sinB=3sinC．
（1）确定a，c之间的关系；
（2）求cosA的值．

Answer 1

分析 （1）通过2sinB=3sinC与正弦定理，比较即得结论；
（2）通过（1）可知2b=3c，结合b-c=$\frac{1}{4}$a化简可知a=2c，利用cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$计算即得结论．

解答 解：（1）∵2sinB=3sinC，
∴$\frac{2}{sinC}$=$\frac{3}{sinB}$，
由正弦定理可知：$\frac{c}{b}$=$\frac{2}{3}$，即2b=3c；
（2）由（1）可知2b=3c，
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a，
∴$\frac{3}{2}$c-c=$\frac{1}{4}$a，即a=2c，
由余弦定理可知cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{\frac{9{c}^{2}}{4}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{3}{2}c•c}$
=$\frac{\frac{9}{4}-3}{3}$
=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，注意解题方法的积累，属于基础题．