题目内容
2．已知f（x）=ax2+bx+c，f（x）=x无实数根，则判断f[f（x）]是否有实根，说明理由．分析 由题意化简f（f（x））-x=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]，从而化为解方程a2x2+（ab+a）x+ac+b+1=0；再由判别式判断即可．
解答 解：f（f（x））=x没有实数根，证明如下，
f（f（x））-x=af2（x）+bf（x）+c-x
=af2（x）-axf（x）+axf（x）-ax2+bf（x）-bx+ax2+bx+c-x
=af（x）[f（x）-x）]+ax[f（x）-x]+b[f（x）-x]+f（x）-x
=[f（x）-x][af（x）+ax+b+1]=0，
∵f（x）=x没有实数根，
∴△=（b-1）2-4ac＜0，
且af（x）+ax+b+1=0；
即a（ax2+bx+c）+ax+b+1=0
a2x2+（ab+a）x+ac+b+1=0
△=（ab+a）2-4a2（ac+b+1）=a2[（b-1）2-4ac-4]＜-4a2＜0，
∴f[f（x）]=x一定没有实数根．
点评 本题考查了方程的根与复合函数的应用，同时考查了复合函数的化简与因式分解的应用，化简比较困难，属于中档题．
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12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$，那么f（f（$\frac{5}{2}$））=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{7}{2}$ |
对于椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c为椭圆半焦距，e为椭圆离心率，过原点O的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，证明：