Question

8．对于椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），c为椭圆半焦距，e为椭圆离心率，过原点O的直线与椭圆C交于A、B两点（A、B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，证明：
（1）当e≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，设直线BD、AM的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=（1-2e²）k₂，当e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，则直线AM与x轴垂直；
（2）△OMN面积的最大值为$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．

Answer 1

分析 （1）设出A，D的坐标分别为（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），（x₂，y₂），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，讨论离心率e，即可得证；
（2）由BD方程求出N点坐标，结合（1）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用椭圆的参数方程，结合二倍角公式和正弦函数的值域，可求得最值．

解答 证明：（1）设A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），
则B（-x₁，-y₁）．
∵直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率k_AD=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$．
设AD方程为y=kx+m，
由题意知k≠0，m≠0．
联立椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得
（b²+a²k²）x²+2ka²mx+a²m²-a²b²=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{2k{a}^{2}m}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
因此y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
由题意可得k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{k{a}^{2}}$=$\frac{{{b}^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$．
∴直线BD的方程为y+y₁=$\frac{{{b}^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$（x+x₁）．
令y=0，得x=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}$x₁，即M（$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}$x₁，0）．
可得k₂=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}{x}_{1}}$．
∴当e≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，即a²-b²≠b²，
k₁=$\frac{2{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$k₂=$\frac{{a}^{2}-2{c}^{2}}{{a}^{2}}$k₂=（1-2e²）k₂；
当e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，a²-b²=b²，即有M（x₁，0），
即直线AM与x轴垂直；
（2）直线BD的方程为y+y₁=$\frac{{{b}^{2}y}_{1}}{{{a}^{2}x}_{1}}$（x+x₁）．
 令x=0，得y=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$y₁，即N（0，$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$y₁），
由（1）知M（$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}$x₁，0）．
可得△OMN的面积为S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}}$|x₁|•$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$|y₁|=$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}{2{a}^{2}{b}^{2}}$|acosα•bsinα|
=$\frac{1}{4}$$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}{ab}$•|sin2α|≤$\frac{{c}^{4}}{4ab}$，
当且仅当α=$\frac{kπ}{2}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∴△OMN面积的最大值为$\frac{{c}^{4}}{4ab}$．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．