Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若原点O到直线x+y-b=0的距离为$\sqrt{2}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率，以及点到直线的距离，求出椭圆的几何量，然后求出椭圆方程．

解答 解：由题意可知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，原点O到直线x+y-b=0的距离为$\sqrt{2}$，可得$\frac{b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
解得b=2，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，解得a²=12．
所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力．