题目内容

7.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$,若原点O到直线x+y-b=0的距离为$\sqrt{2}$,求椭圆的方程.

分析 利用椭圆的离心率,以及点到直线的距离,求出椭圆的几何量,然后求出椭圆方程.

解答 解:由题意可知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,原点O到直线x+y-b=0的距离为$\sqrt{2}$,可得$\frac{b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,
解得b=2,$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$,解得a2=12.
所求椭圆方程为:$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法,考查计算能力.

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