Question

【题目】设椭圆C： ，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。

（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点。

（i）证明∠AOB为定值；

（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围。

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）见解析（ii）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到 由此能求出椭圆的方程．
进而求出“相关圆”的方程．

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线方程为 ；当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，得 由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．

（ii）要求的面积的取值范围，只需求弦长的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出面积的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以

又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以

故椭圆的方程为，

“相关圆”的方程为

（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，

则所以

当直线的斜率存在时，设其方程设为，设

联立方程组得,即,

△=,即

因为直线与相关圆相切，所以

为定值

（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围

当直线AB的斜率不存在时，由（i）知

因为

,

时为所以,

所以,所以

当且仅当时取”=”

②当时,．|AB |的取值范围为

面积的取值范围是.