题目内容
【题目】已知函数.
(1)令,判断g(x)的单调性;
(2)当x>1时,,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求出,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)讨论
的范围,分别利用导数以及函数的单调性,结合单调性判断函数
是否有最大值,当函数
有最大值时,令其最大值小于零即可求得
的范围.
(1)由,则
,
所以(x>0).
①当a≤0时,,
为
的减函数;
②当a>0时,
若,即
时,
,
为
的减函数;
若,即
时,由
有两根
得
在上
,
为减函数;在
上
,
为增函数;
在上
,
为减函数.
综上:当时,
为
的减函数;
当时,在
上
,
为减函数;在
上
,
为增函数;在
上
,
为减函数.
(2)由(1)知,对a讨论如下,
①当a≤0时,,则
为(1,+∞)上的减函数,
则,故
为(1,+∞)的减函数,
由于,所以
,即a≤0时满足题意.
②当a>0时,由于,对其讨论如下:
(A)若,即a≤1,则由(1)知,
为(1,+∞)上的减函数,
则,所以
为(1,+∞)的减函数,
由于,所以
,即0<a≤1时满足题意.
(B)若,即a>1,则由(1)知,
当时,
为(1,+∞)上的减函数,又
,
所以存在,使得在
时,
,于是
为
的增函数,
因为,
所以,即1<a≤
时不满足题意.
当时,由于
,所以对
与1的大小关系讨论如下,
1)如果,即
,那么由(1)知,
为(1,+∞)上的减函数,
又,
则存在,使得在
时,
,于是
为
的增函数,
又,则
,即
时不满足题意.
2)如果,即
,那么由(1)知,
为(1,
)上的增函数,
则当时,
,于是
为
的增函数,
又,则
,即
时不满足题意.
综上所述,a的取值范围为.

练习册系列答案
相关题目