题目内容
【题目】(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,直线
过椭圆
的右焦点
,且交椭圆
于
,
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,连结
,过点
作垂直于
轴的直线
,设直线
与直线
交于点
,试探索当
变化时,是否存在一条定直线
,使得点
恒在直线
上?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)点
恒在直线
上
【解析】试题分析:(1)直线与x轴的交点为椭圆
的右焦点
,所以
由
得
从而
,所以椭圆
的标准方程为
.(2)探索性问题,先通过特殊情形探索目标:令
,则根据对称性知满足题意的定直线
只能是
.问题转化为证明P,B,D三点共线,可利用斜率相等进行证明:设
,
,则
,从而
,再利用直线与椭圆方程联立方程组得关于y的一元二次方程,由韦达定理得
与
关系,进而得
试题解析:(1)由题设,得解得
从而
,
所以椭圆的标准方程为
. 4分
(2)令,则
,
或者
,
.
当,
时,
;当
,
时,
,
所以,满足题意的定直线只能是
. 6分
下面证明点恒在直线
上.
设,
,由于
垂直于
轴,所以点
的纵坐标为
,从而只要证明
在直线
上. 8分
由得
,
,
,
.① 10分
∵
, 13分
①式代入上式,得, 所以
. 15分
∴点恒在直线
上,从而直线
、直线
与直线
三线恒过同一点
, 所以存在一条定直线
:
使得点
恒在直线
上. 16分

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