题目内容

【题目】(本小题满分16分)已知为实数,函数,函数

1)当时,令,求函数的极值;

2)当时,令,是否存在实数,使得对于函数定义域中的任意实数,均存在实数,有成立,若存在,求出实数的取值集合;若不存在,请说明理由.

【答案】(1的极小值为,无极大值.(2

【解析】试题分析:(1)当时, ,定义域为,由.列表分析得的极小值为,无极大值.(2)恒成立问题及存在问题,一般利用最值进行转化: 上恒成立.由于不易求,因此再进行转化:当时, 可化为,令,问题转化为: 对任意恒成立;同理当时, 可化为,令,问题转化为: 对任意的恒成立;以下根据导函数零点情况进行讨论即可.

试题解析:(1

,令,得1

列表:

x






0

+



极小值


所以的极小值为,无极大值. 4

2)当时,假设存在实数满足条件,则上恒成立. 5

1)当时, 可化为

,问题转化为: 对任意恒成立;(*

,则

时,因为

,所以函数时单调递减,

,从而函数时单调递增,故,所以(*

成立,满足题意; 7

时,

因为,所以,记,则当时,

,所以函数时单调递增,

,从而函数时单调递减,所以,此时(*)不成立;

所以当 恒成立时, 9

2)当时, 可化为

,问题转化为: 对任意的恒成立;(**

,则

时,

,所以函数时单调递增,

,从而函数时单调递增,所以,此时(**)成立;11

时,

)若,必有,故函数上单调递减,所以,即,从而函数时单调递减,所以,此时(**)不成立; 13

)若,则,所以当时,

故函数上单调递减, ,即,所以函数时单调递减,所以,此时(**)不成立;

所以当 恒成立时, 15

综上所述,当 恒成立时, ,从而实数的取值集合为16

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