Question

18．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+{sin^2}$x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间和f（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的值域
（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=$\frac{π}{4}$，c=2，求△ABC的面积S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间．由$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，即可求得f（x）的值域．
（2）由$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，结合范围0＜A＜π，可求A的值，依据正弦定理，可求a，B的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分9分）
 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+{sin^2}$x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x，
∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得k$π-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z
∴$0≤x≤\frac{π}{2}，-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴函数f（x）的值域为[-1，2]；
（2）∵在△ABC中，$f（A）=2，C=\frac{π}{4}，c=2$，
∴$2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，解得$A=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$．
又0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
依据正弦定理，有$\frac{a}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{c}{{sin\frac{π}{4}}}，解得a=\sqrt{6}$．
∴$B=π-A-C=\frac{5}{12}π$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}•2•\sqrt{6}•\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式等知识的应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．