题目内容
【题目】有一块半圆形的空地,直径米,政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃
,如图所示,其中
为圆心,
,
在半圆上,其余为绿化部分,设
.
(1)记花圃的面积为,求
的最大值;
(2)若花圃的造价为10元/米,在花圃的边、
处铺设具有美化效果的灌溉管道,铺设费用为500元/米,两腰
、
不铺设,求
满足什么条件时,会使总造价最大.
【答案】(1);(2)
时,总造价最大.
【解析】
(1)根据梯形的面积公式可得,解得三角函数的性质和导数求得
的最大值.
(2)求得花圃的总造价,然后利用导数求得时,总造价最大.
(1)设半径为,则
米,作
,垂足为
,
因为,所以
,
所以,
所以
.
,
所以当时,
,
递增;当
时,
,
递减.
所以当时
最大,最大值为
.
(2)设花圃总造价为,
.
.
令,则
,由于
,则
.
当时,
,函数
单调递增,
当时,
,函数
单调递减,
所以当时,函数
有最大值,即总造价最大.
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