Question

9．若函数f（x）在[a，b]上有定义，且对任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，4]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，4]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在[1，2]上具有性质P；
③若f（x）在x=$\frac{5}{2}$处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，4]；
④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$≤$\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$．
其中正确命题的序号是（　　）3O．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根据题设条件，分别举出反例，能够说明①和②都是错误的；同时利用已知条件能证明③和④是正确的

解答 解：解：在①中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，1≤x＜4}\\{2，x=4}\end{array}\right.$在[1，4]上满足性质P，
但f（x）在[1，4]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，4]上满足性质P，
但f（x²）=-x²在[1，2]上不满足性质P，故②不成立；
在③中：在[1，4]上，f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
f（x）+f（4-x）≥2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）≤f（x）_{min}=f（2）=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=1，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，4]，f（x）=1，故③成立；
 在④中，对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，
有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$=f（$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}+{{x}_{2}}^{\;}）+\frac{1}{2}（{x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}（f（{x}_{1}）+f（{{x}_{2}}^{\;}））$+$\frac{1}{2}（f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}））$]
=$\frac{1}{4}[f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+f（{x}_{3}）+f（{x}_{4}）]$，
∴对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，4]，有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}+{x_4}}}{4}）$≤$\frac{1}{4}[f（{x_1}）+f（{x_2}）+f（{x_3}）+f（{x_4}）]$，故④正确．
故选：D．

点评 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．