Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{12}$），x∈R．
（1）求f（$\frac{7π}{12}$）的值；
（2）若cosθ=$\frac{3}{5}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），求f（2θ-$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）直接利用条件求得f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{2π}{3}$ 的值．
（2）由条件求得sinθ的值，可得sin2θ 和cos2θ 的值，从而求得f（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）因为函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{12}$），所以f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）因为cosθ=$\frac{3}{5}$，θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），所以 sinθ=-$\sqrt{{1-cos}^{2}θ}$=-$\frac{4}{5}$．
所以sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=-$\frac{7}{25}$，
所以f（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2θcos$\frac{π}{4}$+sin2θsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{31}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．