Question

2．若变量a，b满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a{b}^{3}≥81}\\{{a}^{3}b≤81}\end{array}\right.$，求u=$\frac{{a}^{2}}{b}$的最大值．

Answer 1

分析 由已知不等式组求得${a}^{-1}{b}^{-3}≤\frac{1}{81}$，a³b≤81，两式结合可得$\frac{{a}^{16}}{{b}^{8}}≤{3}^{8}$，两边开8次方得$\frac{{a}^{2}}{b}≤3$．

解答 解：∵ab³≥81且a≥1，∴b＞0，
∴${a}^{-1}{b}^{-3}≤\frac{1}{81}$  ①，
又有a³b≤81  ②，
由①⁵×②⁷得：a^-5+21•b^-15+7≤81²，
即$\frac{{a}^{16}}{{b}^{8}}≤{3}^{8}$，两边开8次方得，$\frac{{a}^{2}}{b}≤3$．
因此u=$\frac{{a}^{2}}{b}$的最大值为3．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了不等式的运算性质，训练了学生的灵活变形能力，属中档题．