题目内容
【题目】已知椭圆
： 
（
）的左右焦点分别为
， 
，离心率为
，点
在椭圆
上， 
， 
，过
与坐标轴不垂直的直线
与椭圆
交于
， 
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若
， 
的中点为
，在线段
上是否存在点
，使得
？若存在，求实数
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）
; （Ⅱ）
.
【解析】【试题分析】（1）依据题设运用余弦定理及已知条件建立方程进行求解；（2）依据题设先建立直线的方程，再运用直线与椭圆的位置关系分析求解：
（Ⅰ）由
得
， 
， 
，
由余弦定理得， 
，
解得
， 
， 
，
所以椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）存在这样的点
符合题意.
设
， 
， 
，
由
，设直线
的方程为
，
由
得
，
由韦达定理得
，故
，
又点
在直线
上， 
，所以
.
因为
，所以
，整理得
，
所以存在实数
，且
的取值范围为
．
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【题目】甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 |
|
|
|
|
|
机床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
机床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？
