题目内容
【题目】已知椭圆:
的短轴长为2,且函数
的图象与椭圆
仅有两个公共点,过原点的直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为线段
的中垂线与椭圆
的一个公共点,求
面积的最小值,并求此时直线
的方程.
【答案】(1);(2)
的面积的最小值为
,此时直线
的方程为
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件建立方程求解;(2)先建立直线的方程,再与椭圆方程联立,运用坐标建立关于三角形面积公式的目标函数求解:
(1)由题意可知, ,则
,
联立与
,得:
根据椭圆与抛物线
的对称性,可得
∴,又
,
∴,∴椭圆
的标准方程为
.
(2)①当直线的斜率不存在时,
;当直线
的斜率为0时,
,
②当直线的斜率存在且不为0时,设直线
的方程为
,由
,得
,
∴,
由题意可知线段的中垂线方程为
,由
,得
,
∴,
∴
即,当且仅当
,即
时等号成立,此时
的面积取得最小值
,
∵,∴
的面积的最小值为
,此时直线
的方程为
.
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