题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,且直线
是曲线
的一条切线,求实数
的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,求
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,
,且
,求
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)代入a的值,根据切线方程得到关于x0的方程,求出切点坐标,解出m即可;
(2)问题转化为alnx1>0,记g(x)=alnx
1,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而确定a的范围即可;
(3)法一:求出h(x2)﹣h(x1)的解析式,记m(x)=2[(x)lnx
x],x≥1,根据函数的单调性求出a的范围即可;
法二:由h(x)=f(x)﹣x=alnxx,x>0,以及h(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),得到x1+x2=a,x1x2=1,设t2
(t>1),从而h(x2)﹣h(x1)
等价于 h(t)=(t
)lnt
t
,t>1,记m(x)=(x
)lnx
x,x≥1,根据函数的单调性求出a的范围即可.
(1)当时,
,
.
设直线与曲线
相切于点
,
则,即
,
解得,即切点为
,
因为切点在上,所以
,解得
.
(2)不等式可化为
.
记, 则
对任意
恒成立.
考察函数,
,
.
当时,
,
在
上单调递减,又
,
所以,不合题意;
当时,
,
;
,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
若,即
时,
在
上单调递增,
所以时,
,符合题意;
若,即
时,
在
上单调递减,
所以当时,
,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为
.
(3)方法一:,
,
.
因为有两个极值点
,
,
所以,即
的两实数根为
,
,
,
所以,
,
,所以
,
,
从而
.
记,
.
则
(当且仅当
时取等号),
所以在
上单调递增,又
,
不等式可化为
,所以
.
因为,且
在
上递增,所以
,
即的取值范围为
.
方法二:,
,
.
因为有两个极值点
,
,
所以,即
的两实数根为
,
,
,
所以,
,
,所以
,
.
设,则
,
,所以
,
,
,
从而等价于
,
.
记,
.
则
(当且仅当
时取等号),
所以在
上单调递增.
又,
,所以
.
因为,且
在
上递增,所以
,
即的取值范围为
.
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