Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．

（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；
（3）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴D1D⊥AC

在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC

又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，

而D1E平面BB1D1D，∴AC⊥D1E

（2）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

∴

设平面AD1E的法向量为 ，则 ，即

令z=1，则

∴

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为

（3）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．

设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则

∵BP∥平面AD1E

∴ ，即 ，

∴2（t﹣1）+1=0，解得 ，

∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长 ．

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（2）建立空间直角坐标系，确定面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值；（3）利用BP∥平面AD1E，可得 ，利用向量的数量积公式，可得结论．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．