Question

19．对于集合A，B，定义A+B={x+y|x∈A，y∈B}，下列命题：①A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）；③若A+A=B+B，则A=B；④A+C=B+C，则A=B；其中正确的命题是：①②．

Answer 1

分析 ①根据新定义以及加法交换律得出A+B=B+A；②根据新定义以及加法结合律得出（A+B）+C=A+（B+C）；③举特例根据新定义说明结论不成立；④根据题意举例说明结论不成立．

解答 解：①、集合A、B满足A+B={x+y|x∈A，y∈B}，
∴B+A={y+x|y∈B，x∈A}={x+y|x∈A，y∈B}=A+B，①正确；
②、（A+B）+C={x+y+z|x∈A，y∈B，z∈C}
A+（B+C）={x+y+z|x∈A，y∈B，z∈C}，∴（A+B）+C=A+（B+C），②正确；
③、当A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，
由题意得{x+y|x∈A，y∈A}={x+y|x∈B，y∈B}，但A≠B，③不正确；
④、当A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，C={x|x=n，n∈Z}时，
满足{x+z|x∈A，z∈C}={y+z|y∈B，z∈C}，但A=B不成立，④错误，
所以正确的命题是：①②，
故答案为：①②．

点评 本题考查了新定义的集合的应用问题，解题时应理解集合的含义，理解新定义的内含与外延，是不易理解的题目．