Question

12．在△ABC中，已知AC=1，∠ABC=$\frac{2π}{3}$，∠BAC=θ，记f（θ）=$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$，则f（θ）的值域为（　　）

• A． [0，$\frac{1}{6}$）
• B． （0，$\frac{1}{6}$）
• C． [0，$\frac{1}{6}$]
• D． （0，$\frac{1}{6}$]

Answer 1

分析 f（θ）=$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$AB•BC，由余弦定理得AB²+BC²=1-AB•BC，结合基本不等式及实际意义得，0＜AB•BC≤$\frac{1}{3}$，从而解决问题．

解答 解：在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，
∴AB²+BC²+AB•BC=1，
即AB²+BC²=1-AB•BC，
∵AB²+BC²≥2AB•BC，
∴1-AB•BC≥2AB•BC，
∴AB•BC≤$\frac{1}{3}$．
f（θ）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=AB•BC•cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$AB•BC，
又∵AB•BC＞0，
0＜$\frac{1}{2}$AB•BC≤$\frac{1}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理及基本不等式的应用．