Question

8．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），且图象上与P点最近的一个最高点坐标为（$\frac{π}{3}$，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）若将此函数的图象向左平移m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位长度得到g（x）图象正好关于y轴对称，求m的最小正值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A=5，T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2；由5sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=0⇒$\frac{π}{6}$+φ=0，于是可求得函数的解析式； 
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）即可求得函数的增区间；
（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换知g（x）=5sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）-2，由g（x）图象正好关于y轴对称，则可得2m-$\frac{π}{6}$=kπ，即可解得m的最小正值．

解答 解：（1）由已知可得A=5，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2；
∴y=5sin（2x+φ），
由5sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=0得，$\frac{π}{6}$+φ=0，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴该函数的增区间是[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
（3）g（x）=5sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）-2，
∵g（x）图象正好关于y轴对称，则2m-$\frac{π}{6}$=kπ，
∴解得m=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，当k=0，m的最小正值为$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与其图象变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．