题目内容
【题目】在如图所示的几何体中，
是边长为2的正三角形，
平面ABC，平面
平面ABC，
，且
.
（1）若
，求证：
平面BDE；
（2）若二面角
为
，求直线CD与平面BDE所成角.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求出平面BDE法向量，根据向量垂直坐标表示以及线面平行判定定理证明线面平行，
（2）在（1）基础上利用向量数量积求出平面BDE以及平面
法向量，根据向量数量积求出两法向量夹角，再根据二面角求出
，最后利用空间向量求线面角.
（1）取
的中点
，连接
，
，
因为
，
，
，为的中点，所以
，
。
又因为平面
平面
，所以
平面，因为
是边长为2的正三角形，所以
，
；
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
，因为
，所以
，
。
设平面
的法向量
，则
令
，所以
。
因为
，所以
，
又
平面，所以
平面。
（2）设
，则
，
。
设平面的法向量，
则
令，所以
。
又平面的法向量
，
所以
，解得
，即知平面的法向量
。设直线
与平面所成的角为
，而
，所以
，所以
，即直线与平面所成的角为.
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